我们都知道，实数包括有理数和无理数，在日常生活中，接触到的多为有理数，有理数极多，密密麻麻地排布在数轴上，即便如此，无理数还见缝插针地往里塞，这在数学中称为“稠密性”，即任意两个不相等的实数之间，不管挨得多近，总有另一个实数赖在中间不走。那么，聪明的古人是怎么发现无理数存在的呢？
这和勾股定理有着莫大的关系，我们都知道，在直角三角形中，直角边a、b和斜边c满足：a2+b2=c2，其中蕴含着平方和开方运算，这样必然会出现对整数开方不尽的情况，约在4000多年以前，美索不达米亚人在计算边长为1的正方形的对角线长时，发现了无理数√2的存在，虽然没有给出严格定义，但擅长计算的他们采用递归法找到了一个无限接近√2的有理数，人们在楔形文字泥板中精确到小数点后1000000位。
发现无理数，这得归功于古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯的弟子——希帕索斯。也是在求正方形的对角线时，希帕索斯发起了愁，这到底是个什么数？根据老师所讲，“万数皆数”，“1是所有数的生成元”，“宇宙的一切都归结于整数和整数之比”，既然能用合适的整数来表示对角线，那么，能否用两个整数比来描述呢？希帕索斯花了很长时间，仍是一无所获。
紧接着，希帕索斯利用毕达哥拉斯学派常用的方法——反证法，证明出了这个数字无法表示为两个整数之比：假设数为a=q/p，假设q、p是化为最简分数比后的整数，即q、p互素，根据勾股定理，12+22=a2=(q/p)2，化简为2p2=q2，从这个算式可以看出，q2是偶数，那么q也是偶数，q、p互素，所以p肯定是奇数；
如果q是偶数，则可以表示为q=2b(b是自然数)，带入2p2=q2中，得p2=2b2，那么，p2是偶数，p也一定时偶数，与上段结论矛盾。于是，√2不能表示成两个整数之比，那么，这到底是什么呢？除了整数和整数比(即分数)外，世上还有别的数吗？带着疑问，希帕索斯找到了老师毕达哥拉斯，谁知，看到推到推翻了“万物皆数”的观点后，毕达哥拉斯没有“江山代有才人出“的自豪，反而非常惊慌，担心学生的发现会动摇学派的根基，便将希帕索斯囚禁起来，最终残忍地将他丢进大海，这是数学史上的一个悲剧。
但是，秘密并没有被隐藏很久，人们最终还是知道了这些数的存在。15世纪时，著名画家达·芬奇称之为”无理的数“。17世纪时，德国天文学家开普勒称之为”不可名状的数“，毕达哥拉斯学派的”无理“之举，夺去了希帕索斯的生命，为了纪念这位为真理献身的学者，人们把这种”不可公度比“的数称为”无理数“，而像√2这种记法，最开始是由数学家笛卡尔提出的，沿用至今。
无理数的被发现看似攻破了毕达哥拉斯派的理论基石，其实非也，只是当时的知识体系并没有现在这般完整，在现代实数理论中，无理数可定义为有理数的极限，如此看来，”万数皆整数“的思想没什么不对，这是毕达哥拉斯这位数学大师没有料到的，不知他老人家如果地下有知，有没有后悔过，抹杀真理，迫害自己的弟子呢？